Quasiperiodisch angeregte Systeme spielen in verschiedenen Fragestellungen der Physik eine Rolle. So kann die quasiperiodisch angeregte Arnold'sche Kreisabbildung als vereinfachtes Modell eines durch zwei nicht-kompatible Frequenzen angetriebenen Oszillators dienen. Ein weiteres Beispiel sind die Harper Abbildungen, die zu gewissen diskreten Schrödinger Operatoren mit quasiperiodischem Potential in Beziehung stehen. Aus mathematischer Sicht von Interesse ist das Auftreten sogenannter seltsamer nicht-chaotischer Attraktoren (SNA), die in gleichmäßig hyperbolischen Systemen normalerweise nicht vorkommen.
In diesem Projekt soll das Langzeitverhalten solcher Systeme untersucht werden. Dabei ist zum einen abzuklären, inwieweit sich klassische Resultate aus der Theorie der eindimensionalen Dynamiken auf den quasiperiodisch angeregten Fall verallgemeinern lassen. Weitere Ziele sind der Nachweis von SNA in Systemen, in denen dies bisher noch nicht gelungen ist, sowie die Beantwortung verschiedener offener Fragen zu den Eigenschaften dieser Objekte. Schließlich sollen auch die beiden oben erwähnten, physikalisch motivierten Beispielklassen näher untersucht werden.
Teilbereiche des Projekts wurden in Kooperationen mit K. Bjerklöv (Toronto), P. Glendinning (Manchester), R. Johnson (Florenz), R. Ramaswamy (Neu-Delhi) bzw. J. Stark (London) bearbeitet.

Aus dem Ergebnisbericht:

Strikt ergodisch angeregte Kreisdiffeomorphismen: Attraktoren, invariante Maße und Lyapunov-Exponenten

Seltsame nicht-chaotische Attraktoren (SNAs) bilden eine Klasse von dynamischen Fraktalen, die seit den 1980er Jahren in einer Vielzahl von Computer-Simulationen untersucht wurden und deren Existenz subtile Fragen im Grenzbereich zwischen Ordnung und Chaos aufwirft. Sie können z.B. bei der Modellierung physikalischer oder biologischer Vorgänge in Raum und Zeit auftreten, die von mehreren externen Faktoren mit unterschiedlichen Frequenzen periodisch beeinflußt werden - man denke hierbei an den Einfluß verschiedener Planeten auf unsere Erde oder aber die Wirkung von Gezeiten, Sonneneinstrahlung und Jahreszeiten auf marine Ökosysteme. Man spricht dann von quasiperiodisch angeregten (oder allgemeiner von strikt ergodisch angeregten) Systemen. Auch in gewissen Modellen der Quantenmechanik sowie bei der Untersuchung angeregter elektronischer Schwingkreise spielen solche seltsamen nicht-chaotischen Attraktoren eine Rolle.

In ihren stationären Zuständen, mathematisch durch invariante Maße beschrieben, haben SNAs keine beobachtbaren positiven Lyapunov-Exponenten, während sie rein geometrisch sehr komplizierte fraktale Strukturen aufweisen. Daher können allein aus Simulationen oft keine zuverlässigen Schlüsse über ihre Eigenschaften (oft noch nicht einmal über ihre Existenz) gezogen werden, und eine mathematisch rigorose Herangehensweise ist für ihr tieferes Verständnis zwingend notwendig. Im Rahmen dieses Projekts wurden dazu u.a. folgende Beiträge geleistet:

• Obwohl Computer-Simulationen die Existenz von SNAs in einer Vielzahl von dynamischen Systemen nahelegen, war ein zweifelsfreier Nachweis bisher nur in wenigen Spezialfällen mit nicht verallgemeinerungsfähigen Methoden möglich. In diesem Projekt wurde eine sehr flexible geometrisch-dynamische Methode zum Existenznachweis entwickelt.

• Die zentrale Rolle von "sink-source orbits" bei der Entstehung von SNAs wurde herausgearbeitet. (In speziellen Modellen der Quantenmechanik entsprechen diese Orbits gerade lokalisierten Zuständen in quasiperiodischen Potentialen.)

• Da quasiperiodisch angeregte Dynamiken grundsätzlich keine periodischen Orbits haben, mussten dynamische Entitäten identifiziert werden, die in vieler Hinsicht die Rolle periodischer Orbits übernehmen. Mit invarianten und periodischen ``Streifen'' wurden solche Objekte gefunden,die es gestatten, eine Reihe klassischer Ergebnisse der eindimensionalen Dynamik (z.B. die Sätze von Denjoy und von Sharkovskii) auf quasiperiodisch angeregte Systeme zu übertragen. Dabei musste der Begriff des Streifens so weit gefasst werden, dass auch SNAs als invariante Streifen und damit als "verallgemeinerte Fixpunkte" auftreten können.