Research project

Splinefunktionen in mehreren Veränderlichen sind Grundlage einer Vielzahl von Methoden in der numerischen Mathematik, Stochastik, Computergraphik und anderen Gebieten der angewandten Mathematik. Ein fundamentales Problem ist die Charakterisierung von Punktmengen, sodass man bei beliebig vorgegebenen Daten stets einen eindeutig bestimmten Interpolationsspline erhält.
Bei Funktionen in einer Variablen gibt es die berühmte Charakterisierung von Schoenberg-Whitney. Nur wenige Aussagen in dieser Richtung sind für Funktionen in mehreren Variablen bekannt. Ziel des Projektes war es, den Satz von Schoenberg-Whitney auf Splines in mehreren Variablen zu übertragen. Es zeigt sich, dass die Bedingungen dieses Satzes nur mehr für eine schwächere Aussage notwendig und hinreichend sind. In diesem Zusammenhang sind auch linear unabhängige Basisfunktionen von Bedeutung, die man als Verallgemeinerung von B-Splines auf den mulivariaten Fall ansehen kann.
Weiter wird für den Fall von bilinearen linearen Splines auf Triangulierungen eine vollständige Charakterisierung von Punktmengen angegeben, sodass für beliebig vorgegebene Daten eine eindeutig vorgegebene Interpolationsfunktion existiert. Dazu benötigt man neben den Bedingungen von Schoenberg-Whitney noch weitere geometrische Bedingungen. Dies ist das erste Ergebnis einer vollständigen Charakterisierung von Punktmengen im multivariaten Fall.

Publikationen

Davydov, O., M. Sommer and H. Strauß, On almost interpolation by bivariate splines, East J. Approx. 5 (1999), 67--88.

Davydov, O., M. Sommer and H. Strauß, Interpolation by bivariate linear splines, J. Comp. Appl. Math. 119 (2000), 115--131.