Theoretische Dynamik (2V + 2Ü) (TheoDyn)5 ECTS
(englische Bezeichnung: Theoretical Dynamics)
(Prüfungsordnungsmodul: Theoretische Dynamik I)

Lehrveranstaltungen:

• • Theoretische Dynamik
    (Vorlesung mit Übung, 4 SWS, Holger Lang, Mo, 10:15 - 11:45, Raum n.V.; Di, 8:15 - 9:45, Raum n.V.; *Diese Lehrveranstaltung findet im Sommersemester 2021 nicht statt.*)

Empfohlene Voraussetzungen:

• Grundkenntnisse in Mathematik

• Kenntniss des Moduls 'Dynamik starrer Körper'

Inhalt:

• Variationsrechnung (mit und ohne holonome Zwangsbedingungen)

• Nichtlineare mechanische Systeme (mit und ohne holonome Zwangsbedingungen)

• Bewegungsgleichungen nach Lagrange (erster und zweiter Art)

• Bewegungsgleichungen nach Hamilton

• Phasenraum

• Differential-algebraische Gleichungssysteme, Index

• Theoreme von Noether, Liouville und Poincare

• Untermannigfaltigkeiten

• Abstrakte Mannigfaltigkeiten
  

Lernziele und Kompetenzen:

Wissen
Die Studenten/Studentinnen

kennen die Begriffe Funktional, Differential, Richtungsableitung und kritische Punkte innerhalb der Variationsrechnung.
kennen die Fundamentallemmata der Variationsrechung auf Untermannigfaltigkeiten.
kennen die Begriffe holonom-skleronome und holonom-rheonome Zwangsbedingungen.
kennen die Euler-Lagrange-Gleichungen ohne Zwangsbedingungen.
kennen die Euler-Lagrange-Gleichungen auf Untermannigfaltigkeiten (d.h. mit holonomen skleronomen/rheonomen Zwangsbedingungen).
kennen die Geometrie von Untermannigfaltigkeiten, Tangential- und Normalraum.
kennen einige Beispiele abstrakter Mannigfaltigkeiten.
kennen den Satz vom Igel.
kennen das Hamilton-, das d'Alembert-, sowie das Lagrange-d'Alembert-Prinzip.
kennen die Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme (erster und zweiter Art).
kennen die Hamilton-Gleichungen dynamischer Systeme.
kennen die Skruktur der auftretenden differential-algebraischen Gleichungssysteme vom Index drei.
kennen Phasenraumporträts, statische elliptische und hyperbolische Gleichgewichtspunkte, sowie Separatrizen.
kennen das Noether-Theorem innerhalb der Lagrange-Dynamik.
kennen die Sätze von Liouville und Poincare innerhalb der Hamilton-Dynamik.
kennen auch Anwendungen des Satzes von Poincare außerhalb der Mechanik.
kennen den Satz von Gauß zur Berechnung der Periodendauer des ebenen Pendels.
kennen die zugehörigen analytischen Zusammenhänge.

Verstehen
Die Studenten/Studentinnen
verstehen die Zusammenhänge zwischen Differential, Richtungsableitung und kritischen Punkten.
verstehen die Notwendigkeit der Fundamentallemmata beim Aufbau der Variationsrechnung.
verstehen die Notwendigkeit der Grübler-Bedingung.
verstehen den Aufbau der Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme ohne Zwangsbedingungen.
verstehen den Aufbau der Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme auf Untermannigfaltigkeiten.
verstehen, dass konsistente Anfangswerte notwendig und hinreichend sind für die Existenz Eindeutigkeit der analytischen Lösung.
verstehen, warum man die Anfangsbedingungen auf niedrigerer Ebene auch als 'versteckt' bezeichnet.
verstehen die Invarianzeigenschaften der Lagrange-Gleichungen.
verstehen die Geometrie von Untermannigfaltigkeiten, Tangential- und Normalraum.
verstehen die Zwangsbedingungen auf Lage-, Geschwindigkeits und Beschleunigungsebene differentialgeometrisch.
verstehen die zugrundeliegenden Sätze der Variationsrechnung.
verstehen die analytischen Lösungen der Lagrange-Gleichungen der wichtigsten klassischen mechanischen Systeme (z.B. Balken, Katenoid, Brachistochrone, Kepler-Problem).
verstehen die aus dem Hamilton-, dem d'Alembert-, sowie dem Lagrange-d'Alembert-Prinzip resultierenden Zusammenhänge.
verstehen den Unterschied zwischen eingeprägten Kräften, Nichtinertial- und Zwangskräften.
verstehen das Verfahren der Indexreduktion für die auftretenden differential-algebraischen Systeme.
verstehen das Phänomen des Wegdriftens bei indexreduzierten Formulierungen.
verstehen die Konstruktion von Phasenraumporträts und die damit einhergehende eindimensionale Dynamik.
verstehen, warum die Bewegung entlang einer Separatrix unendlich lange dauert.
verstehen, wie die fundamentalen Erhaltungssätze der Dynamik (Energie, Impuls, Drehimpuls) via Noether-Theorem aus dem Hamilton-Prinzip ableitbar sind.
verstehen die Tiefe des Hamilton-Prinzips.
verstehen die Theoreme von Liouville und Poincare für Hamiltonsche Systeme.
verstehen die Beweise der zugehörigen analytischen Zusammenhänge, einschließlich der Voraussetzungen.

Anwenden
Die Studenten/Studentinnen

können das Differential, Richtungsableitung und kritische Punkte nichtlinearer Funktionale berechnen.
können die statischen Gleigewichtsgleichungen der klassischen linearen Balken (Zug, Torsion und Biegung) im Rahmen der Variationsrechnung herleiten.
können die Zahl der Freiheitsgrade holonomer Lagrangescher Systeme berechnen.
können die Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme ohne Zwangsbedingungen aufstellen.
können die Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme auf Untermannigfaltigkeiten aufstellen und zugehörige Nullraum-Matrizen finden.
können die Lagrange-Gleichungen erster Art in diejenigen zweiter Art überführen.
können die Zwangsbedingungen auf Lage-, Geschwindigkeits und Beschleunigungsebene bestimmen.
können zu einer gegebenen Untermannigfaltigkeit Normal- und Tangentialraum bestimmen.
können die Hamilton-Gleichungen dynamischer Systeme ohne Zwangsbedingungen aufstellen.
können die Lagrange-Gleichungen zweiter Art in die Hamilton-Gleichungen überführen, und umgekehrt.
können Legendre-Transformationen durchführen.
können sicher mit krummlinigen, generalisierten Koordinaten umgehen.
können die analytischen Lösungen der Lagrange-Gleichungen der wichtigsten klassischen mechanischen Systeme (z.B. Balken, Katenoid, Brachistochrone, Kepler-Problem) durch Differentiation verifizieren.
können den generalisierten Impuls zu einer gegebenen generalisierten Koordinate berechnen.
können zyklische Koordinaten erkennen.
können das Verfahren der Indexreduktion auf die Lagrange-Gleichungen erster Art anwenden.
können die Lagrange-Multiplikatoren sowie die zugehörigen d'Alembertschen Zwangskräfte systematisch als Funktion der Lage- und Geschwindigkeitsgrößen berechnen.
können das Phänomen des Wegdriftens durch Projektionsverfahren oder Baumgarte-Stabilisierung unterbinden.
können die d'Alembertschen Zwanskräfte in den Bewegungsgleichungen via Nullraummatrix eliminieren.
können den Index alternativer Versionen der Bewegungsgleichungen (etwa GGL-Formulierung) berechnen.
können zum Potential eines eindimensionalen Systems das Phasenraumporträt berechnen und skizzieren.
können effektive Phasenraumporträts für höherdimensionale Probleme skizzieren und berechnen.
können statische Gleichgewichtspunkte zu einem gegebenen Potential berechnen, sowie die zugehörigen Lagrange-Gleichungen um diese Punkte herum linearisieren.
können statische Gleichgewichtspunkte hinsichtlich ihrer Stabilität (elliptisch oder hyperbolisch) klassifizieren.
können die Schwingungsfrequenz nahe eines elliptischen Gleichgewichtspunktes aus der Krümmung des Potentials berechnen.
können Invarianzen/Symmetrien der Lagrange-Funktion erkennen, die jeweiligen Erhaltungsgrößen nach dem Noether-Theorem berechnen und mechanisch interpretieren.
können die Beweise der wichtigsten mathematischen Sätze eigenständig führen.

Analysieren
Die Studenten/Studentinnen

können analysieren, ob kritische Punkte eines Funktionals auch tatsächlich Extremalpunkte darstellen.
können analysieren, welche Koordinatenwahl der Symmetrie eines dynamischen Systems bestmöglichst Rechnung trägt.
können Erhaltungsgrößen/Erste Integrale zur analytischen Lösung der Lagrange-/Hamilton-Gleichungen heranziehen.
können die Lagrange-Gleichungen der wichtigsten klassischen mechanischen Systeme (z.B. Balken, Katenoid, Brachistochrone, Kepler-Problem) durch Integration selbstständig analytisch lösen.
können die Lösungen der Bewegungsgleichungen in wichtigen Anwendungen diskutieren und analysieren (z.B. Einfluss der Parameter).
können mathematisch-mechanische Zusammenhänge auf Gültigkeit hin analysieren und ggf. beweisen oder durch Gegenbeispiel widerlegen.
können zu einem gegeben dynamischen System unter einer gegebenen Problemstellung die am besten geeignete Form der Bewegungsgleichungen finden.
können Paradoxa auflösen.

Erschaffen
Die Studenten/Studentinnen
stellen eigenständig analytische Aussagen/Behauptungen auf, können diese ggf. mathematisch beweisen oder durch Gegenbeispiel widerlegen.
können die Dynamik von Lagrange- oder Hamiltonsystemen theoretisch (oder numerisch) analysieren.

Literatur:

• Arnold: Mathematical Methods in Classical Mechanics

• Kuypers: Klassische Mechanik

• Nolting: Theoretische Physik 1/2 (Klassische/Analytische Mechanik)

• Greiner: Klassische Mechanik I/II
  

Bemerkung:

Vorlesung (2 SWS) und Übung (2 SWS) werden gemeinsam geprüft und kreditiert

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:

1. Berufspädagogik Technik (Master of Education)
   (Po-Vers. 2020w | TechFak | Berufspädagogik Technik (Master of Education) | Gesamtkonto | Wahlpflichtmodule Fachwissenschaft | Theoretische Dynamik I)

Studien-/Prüfungsleistungen:

Vorlesung + Übung Theoretische Dynamik 1 (Prüfungsnummer: 74301)

(englischer Titel: Theoretical Dynamics 1)

Prüfungsleistung, mündliche Prüfung, Dauer (in Minuten): 30, benotet, 5 ECTS

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: SS 2021, 1. Wdh.: WS 2021/2022, 2. Wdh.: keine Wiederholung

1. Prüfer:

Holger Lang