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Analysis (Ana)17.5 ECTS
Modulverantwortliche/r: Frank Duzaar, Günther Grün, Andreas Knauf Lehrende:
Andreas Knauf
Startsemester: |
WS 2013/2014 | Dauer: |
2 Semester | Turnus: |
jährlich (WS) |
Präsenzzeit: |
180 Std. | Eigenstudium: |
345 Std. | Sprache: |
Deutsch |
Lehrveranstaltungen:
Inhalt:
Analysis I:
Naive Mengenlehre und Logik
Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, unter/obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Menge;
Komplexe Zahlen: Rechenregeln und geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen;
Metrische und normierte Räume: Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit;
Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte;
Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktion, trigonometrische Funktionen, Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus;
Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz;
Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen: Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Analysis II:
Fourier-Reihen
Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli
Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi-Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und sSchrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel,Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten.
Lernziele und Kompetenzen:
- Verständnis grundlegender analytischer Begriffe
Aneignung von Basiswissen der Analysis
Verwendung der Techniken der Analysis in Anwendungen: Berechnung von Limiten; Ableitung und Integration bzw. Erkennen der Divergenz; Umgang mit elementaren Funktionen
Fähigkeit relevante Informationen zu sammeln und Zusammenhänge zu erkennen
Literatur:
- Vorlesungsskripte zu diesem Modul
O.Forster: Analysis 1, 2. Vieweg
V. Zorich: Analysis I, II. Springer
Hildebrandt: Analysis I, II. Springer
Organisatorisches:
Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan: Das Modul ist im Kontext der folgenden Studienfächer/Vertiefungsrichtungen verwendbar:
- Wirtschaftsmathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
(Po-Vers. 2009 | Bachelorprüfung | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis (Ana))
Studien-/Prüfungsleistungen:
Analysis I und II (Prüfungsnummer: 50001)
- Prüfungsleistung, Klausur, Dauer (in Minuten): 120-180, benotet
- Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %
- Erstablegung: SS 2014, 1. Wdh.: WS 2014/2015
- Termin: 29.08.2014, 09:00 Uhr, Ort: H7/H9/H11/H12/H13
Analysis I Übungen (Prüfungsnummer: 50002)
- Prüfungsleistung, Studienleistung, unbenotet
- Erstablegung: WS 2013/2014, 1. Wdh.: WS 2013/2014
- Termin: 14.02.2014, 09:00 Uhr, Ort: H11/H12/H13/Tentoria/HE/HH
Analysis II Übungen (Prüfungsnummer: 50003)
- Prüfungsleistung, Studienleistung, unbenotet
- Erstablegung: SS 2014
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