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Analysis (Ana)17.5 ECTS (Prüfungsordnungsmodul: [])
Modulverantwortliche/r: Frank Duzaar, Günther Grün, Andreas Knauf Lehrende:
Aldo Pratelli
Startsemester: |
WS 2014/2015 | Dauer: |
2 Semester | Turnus: |
jährlich (WS) |
Präsenzzeit: |
180 Std. | Eigenstudium: |
345 Std. | Sprache: |
Deutsch |
Lehrveranstaltungen:
Inhalt:
Analysis I:
Naive Mengenlehre und Logik;
Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, untere / obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Mengen;
Komplexe Zahlen: Rechenregeln und ihre geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen;
Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit;
Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte;
Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, trigonometrische Funktionen,
Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus;
Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz;
Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen:
Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Analysis II:
Fourier-Reihen,
Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli;
Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi-Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und Schrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel, Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten.
Lernziele und Kompetenzen:
Die Studierenden
definieren und erklären grundlegende analytische Begriffe
wenden das Basiswissen der Analysis an und reproduzieren grundlegende Prinzipien
wenden die folgenden Techniken der Analysis gezielt an: Berechnung von Limiten, Ableitung und Integration bzw. Erkennen der Divergenz, Umgang mit elementaren Funktionen
sammeln und bewerten relevante Informationen und erkennen Zusammenhänge
Literatur:
- Vorlesungsskripte zu diesem Modul
O.Forster: Analysis 1, 2. Vieweg
V. Zorich: Analysis I, II. Springer
Hildebrandt: Analysis I, II. Springer
Organisatorisches:
Studien-/Prüfungsleistungen:
Analysis I und II (Prüfungsnummer: 50001)
- Prüfungsleistung, Klausur, Dauer (in Minuten): 120-180, benotet
- Anteil an der Berechnung der Modulnote: 0.0 %
- Erstablegung: SS 2015, 1. Wdh.: WS 2015/2016
Analysis I Übungen (Prüfungsnummer: 50002)
- Prüfungsleistung, Klausur mit Übungsleistung, unbenotet
- Erstablegung: WS 2014/2015, 1. Wdh.: WS 2014/2015
Analysis II Übungen (Prüfungsnummer: 50003)
- Prüfungsleistung, Übungsleistung, unbenotet
- Erstablegung: SS 2015
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