Geometrische numerische Integration (GNI)5 ECTS
(englische Bezeichnung: Geometric numerical integration)

Lehrveranstaltungen:

• • Geometrische numerische Integration (Geometric numerical Integration)
    (Vorlesung mit Übung, 4 SWS, Sigrid Leyendecker et al., Blockveranstaltung 1.8.2016-12.8.2016 Mo-Fr, 9:00 - 12:30, H17 Maschinenbau; Die Vorlesung (mit Übung und Programmierübung) findet als zehntägige Blockveranstaltung im Zeitraum vom 01. August - 12. August 2016, Mo-Fr von 09:00 - 12:30 Uhr im H17 statt.)

Inhalt:

• Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen

• Numerische Integration

• Erhaltung erster Integrale (lineare und quadratische Invarianten)

• Symplektische Integration von Hamilton-Systemen

• Variationelle Integratoren

• Fehleranalyse

In dieser Vorlesung werden numerische Methoden behandelt, welche die geometrischen Eigenschaften des Flusses einer Differentialgleichung erhalten. Zunächst werden Grundlagen der Integrationstheorie wie der Konsistenz und der Kovergenzbegriff wiederholt. Dann werden verschiedene numerische Integratoren (Runge-Kutta-Methoden, Kollokationsmethoden, partitionierte Methoden, Kompositionsmethoden und Splitting-Methoden) eingeführt. Für die vorgestellten Integratoren werden Bedingungen zur Erhaltung erster Integrale hergeleitet und bewiesen. Nach einer kurzen Einführung symmetrischer Integratoren werden anschließend symplektische Integratoren für Lagrange- und Hamiltonsysteme behandelt. Dazu werden zunächst grundlegende Definitionen und Konzepte für Lagrange- und Hamiltonsysteme eingeführt wie das Hamiltonsche Prinzip, die Symplektizität, das Noether-Theorem und damit verbundene Erhaltungseigenschaften des dynamischen Systems. Eine diskrete Formulierung führt auf die Klasse der Variationsintegratoren, welche äquivalent zu der Klasse symplektischer Integratoren ist. Die Symplektizität führt auf genauere Langzeitsimulationen, was mit Konzepten der Rückwärtsfehleranalyse bewiesen und anhand von Beispielen validiert wird.

Lernziele und Kompetenzen:

Wissen

Die Studenten/Studentinnen
kennen Begriffe 'Lagrange-System' und 'Hamilton-System'.
kennen Phasenraumporträts.
kennen die Begriffe 'gewöhnliche Differentialgleichung' und 'analytische Lösung'.
kennen Standard-Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.
kennen Runge-Kutta-Verfahren und partitionierte Runge-Kutta-Verfahren.
kennen kontinuierliche und diskontinuierliche Kollokationsverfahren.
kennen die Adjungierte eines Verfahrens.
kennen Kompositions- und Splitting-Verfahren.
kennen die Begriffe 'erstes Integral' und 'quadratische Invariante'.
kennen symplektische Integratoren, insbesondere symplektische Runge-Kutta-Verfahren.
kennen Variationsintegratoren.
kennen das Hamilton-Prinzip.
kennen das kontinuierliche und diskrete Noether-Theorem.
kennen die Erhaltungseigenschaften variationeller Integratoren.
kennen die zugehörigen analytischen Zusammenhänge.

Verstehen

Die Studenten/Studentinnen
verstehen, wie ein Phasenraumporträt ausgebaut ist.
verstehen, unter welchen Bedingungen eine gewöhnliche Differentialgleichung mit vorgeschriebenem Anfangswert genau eine analytische Lösung besitzt.
verstehen, unter welchen Bedingungen ein Zeitintegrationsverfahren gegen die analytische Lösung konvergiert.
verstehen den Aufbau von (partitionierten) Runge-Kutta-Verfahren, (diskontinuierlichen) Kollokationsverfahren.
verstehen die Konstruktion der Adjungierten eines Verfahrens.
verstehen, wie Kompositions- und Splitting-Verfahren aufgebaut sind.
verstehen, wann Zeitintegrationsverfahren erste Integrale (lineare oder quadratische Invarianten) erhalten.
verstehen, warum die Erhaltungseigenschaften variationeller Integratoren eine exzellente Langzeitstabilität zur Folge haben.
verstehen, dass der Fluss eines Hamilton-Systems symplektisch ist.
verstehen, wie symplektische Zeitintegrationsverfahren aufgebaut sind.
verstehen, warum die Klasse der symplektischen und der variationellen Integratoren identisch sind.
verstehen, wie die Impuls- oder Drehimpulserhaltung aus dem Noether-Theorem hervorgehen.
verstehen die Beweise der zugehörigen mathematischen Zusammenhänge, einschließlich der Voraussetzungen.

Anwenden

Die Studenten/Studentinnen
können zu einem gegebenen Potential eines eindimensionalen Systems das Phasenraumporträt skizzieren.
können die Lagrange- und Hamilton-Gleichungen dynamischer Systeme aufstellen.
können die Lagrange-Gleichungen in die Hamilton-Gleichungen via Legendre-Transformation überführen, und umgekehrt.
können sicher mit generalisierten Koordinaten umgehen.
können Invarianzen/Symmetrien der Lagrange-Funktion erkennen, die jeweiligen Erhaltungsgrößen mit Hilfe des Noether-Theorems berechnen und mechanisch interpretieren.
können etwaige analytische Lösungen der Lagrange-/Hamilton-Gleichungen durch Differentiation verifizieren.
können die Ordnung eines Zeitintegrationsverfahrens mit Hilfe des Satzes von Taylor berechnen.
können die Adjungierte eines Verfahrens berechnen.
können ein gegebenes Zeitintegrationsverfahren auf Symmetrie/Zeitreversibilität überprüfen.
können ein gegebenes Zeitintegrationsverfahren auf Symplektizität überprüfen.
können eine Abbildung auf Symplektizität überprüfen und ggf. eine erzeugende Funktion spezifizieren.
können die Zeitintegrationsverfahren anhand numerischer Demonstratoren nachvollziehen.
können zyklische Koordinaten erkennen und die zugehörigen erhaltenen konjugierten Impulse berechnen.
können das Lagrange-Wirkungsintegral mit Hilfe von Quadraturregeln approximieren und die zugehörigen diskreten Lagrange-Gleichungen herleiten.
können die diskreten Lagrange-Gleichungen vollständig ausdifferenzieren.
können die Beweise der wichtigsten mathematischen Sätze eigenständig führen.

Analysieren

Die Studenten/Studentinnen
können etwaige analytische Lösungen der Lagrange-/Hamilton-Gleichungen durch Integration selbstständig finden.
können Erhaltungsgrößen/Erste Integrale zur analytischen Lösung der Lagrange-Gleichungen heranziehen.
können analysieren, welche Koordinatenwahl der Symmetrie eines dynamischen Systems bestmöglichst Rechnung trägt.
können Zeitintegrationsverfahren selbstständig implementieren und auf Konvergenz analysieren.
können im Postprocessing die Erhaltungseigenschaften (Energie, Impuls, Drehimpuls) analysieren.
können das numerische Langzeitverhalten von Zeitintegratoren mit Hilfe der Rückwärtsfehleranalyse qualitativ bewerten.

Literatur:

E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer, 2004.
J. Marsden und T. Ratiu. Einführung in die Mechanik und Symmetrie. Eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme. Springer, 2001.
J. Marsden, and M. West. Discrete mechanics and variational integrators. Acta Numerica, pp. 357-514, 2001.

Organisatorisches:

Vertiefungsmodul zum Modul 'Mehrkörperdynamik'

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:
Das Modul ist im Kontext der folgenden Studienfächer/Vertiefungsrichtungen verwendbar:

1. Berufspädagogik Technik (Master of Education)
   (Po-Vers. 2010 | TechFak | Berufspädagogik Technik (Master of Education) | Studienrichtung Metalltechnik (Masterprüfungen) | Wahlpflichtmodule Fachwissenschaft | Wahlpflichtmodule (Vertiefungsmodule) | Geometrische numerische Integration)
2. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Modulgruppe 2.4 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.4 | Geometrische numerische Integration)
3. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Modulgruppe 2.5 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.5 | Geometrische numerische Integration)
4. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Modulgruppe 2.4 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.4 | Geometrische numerische Integration)
5. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Allgemeiner Maschinenbau | Modulgruppe 2.5 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.5 | Geometrische numerische Integration)
6. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Modulgruppe 2.4 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.4 | Geometrische numerische Integration)
7. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Modulgruppe 2.5 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.5 | Geometrische numerische Integration)
8. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Modulgruppe 2.4 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.4 | Geometrische numerische Integration)
9. Maschinenbau (Master of Science)
   (Po-Vers. 2007 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtungen Allgemeiner Maschinenbau, Fertigungstechnik, und Rechnergestützte Produktentwicklung | Masterprüfung | Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Wahlpflicht-/Vertiefungsbereich in der Studienrichtung Rechnergestützte Produktentwicklung | Modulgruppe 2.5 Höhere Mechanik | Vertiefungsmodul 2.5 | Geometrische numerische Integration)
10. Maschinenbau (Master of Science): 1. Semester
    (Po-Vers. 2013 | TechFak | Maschinenbau (Master of Science) | Studienrichtung International Production Engineering and Management | Masterprüfung | Vertiefungsmodul)
11. Mechatronik (Bachelor of Science)
    (Po-Vers. 2007 | TechFak | Mechatronik (Bachelor of Science) | Wahlpflichtmodule (für alle Studierende des Bachelorstudiums, die vor 01. Oktober 2012 Wahlpflichtmodule begonnen haben) | Wahlpflichtmodule | Katalog | Geometrische numerische Integration)
12. Mechatronik (Bachelor of Science)
    (Po-Vers. 2009 | TechFak | Mechatronik (Bachelor of Science) | Wahlpflichtmodule (für alle Studierende des Bachelorstudiums, die vor 01. Oktober 2012 Wahlpflichtmodule begonnen haben) | Wahlpflichtmodule | Katalog | Geometrische numerische Integration)
13. Mechatronik (Bachelor of Science): 5-6. Semester
    (Po-Vers. 2009 | TechFak | Mechatronik (Bachelor of Science) | Wahlpflichtmodule | 7 Technische Mechanik)
14. Mechatronik (Master of Science)
    (Po-Vers. 2010 | TechFak | Mechatronik (Master of Science) | Wahlpflichtmodule | Katalog | Geometrische numerische Integration)
15. Mechatronik (Master of Science)
    (Po-Vers. 2010 | TechFak | Mechatronik (Master of Science) | Vertiefungsrichtungen | Technische Mechanik | Geometrische numerische Integration)
16. Mechatronik (Master of Science): 1-3. Semester
    (Po-Vers. 2012 | TechFak | Mechatronik (Master of Science) | M1-M2 Vertiefungsrichtungen | 7 Technische Mechanik)
17. Medizintechnik (Bachelor of Science): 5-6. Semester
    (Po-Vers. 2013 | TechFak | Medizintechnik (Bachelor of Science) | Kern- und Vertiefungsmodule der Kompetenzfelder | Studienrichtung Gerätetechnik | B8 Vertiefungsmodule MB/WW/CBI | Vertiefungsmodule aus der Studienrichtung Gerätetechnik)
18. Wirtschaftsingenieurwesen (Master of Science)
    (Po-Vers. 2009 | TechFak | Wirtschaftsingenieurwesen (Master of Science) | Ingenieurwissenschaftliche Studienrichtungen | Studienrichtung Maschinenbau | Wahlpflicht- und Vertiefungsmodul Modulgruppe 2.4 | Vertiefungsmodul Modulgruppe 2.4 | Geometrische numerische Integration)
19. Wirtschaftsingenieurwesen (Master of Science)
    (Po-Vers. 2009 | TechFak | Wirtschaftsingenieurwesen (Master of Science) | Ingenieurwissenschaftliche Studienrichtungen | Studienrichtung Maschinenbau | Wahlpflicht- und Vertiefungsmodul Modulgruppe 2.5 | Vertiefungsmodul Modulgruppe 2.5 | Geometrische numerische Integration)

Studien-/Prüfungsleistungen:

Vorlesung + Übung Geometrische numerische Integration (Prüfungsnummer: 72771)

Prüfungsleistung, mündliche Prüfung, Dauer (in Minuten): 30, benotet, 5 ECTS

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: SS 2016, 1. Wdh.: WS 2016/2017

1. Prüfer:

Sigrid Leyendecker