Analysis (Ana)17.5 ECTS

Lehrveranstaltungen:

• Analysis I
  • Analysis I (WS 2014/2015)
    (Vorlesung, 4 SWS, Aldo Pratelli, Mo, Do, 12:00 - 14:00, H11; ab 6.10.2014)
  • Übungen zur Analysis I (WS 2014/2015)
    (Übung, 2 SWS, Aldo Pratelli)
• Analysis II
  • Analysis II (SS 2015)
    (Vorlesung, 4 SWS, Aldo Pratelli, Mo, 8:00 - 10:00, H11; Do, 10:00 - 12:00, H11)
  • Übungen zur Analysis II (SS 2015)
    (Übung, 2 SWS, Aldo Pratelli)

Inhalt:

Analysis I:

• Naive Mengenlehre und Logik;

• Grundeigenschaften der natürlichen, rationalen und reellen Zahlen: Vollständige Induktion, Körper- und Anordnungsaxiome, Vollständigkeit, untere / obere Grenzen, Dichtheit von Q in R, abzählbare und überabzählbare Mengen;

• Komplexe Zahlen: Rechenregeln und ihre geometrische Interpretation, quadratische Gleichungen;

• Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit;

• Zahlenfolgen und Reihen: Konvergenzkriterien und Rechenregeln, absolute Konvergenz, Potenzreihen, unendliche Produkte;

• Elementare Funktionen, rationale Funktionen, Potenzen mit reellen Exponenten, Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, trigonometrische Funktionen,

• Monotonie und Umkehrfunktion, Logarithmus;

• Stetige reellwertige Funktionen: Zwischenwertsatz, Existenz von Minimum und Maximum auf kompakten Mengen, stetige Bilder von Intervallen und Umkehrbarkeit, gleichmäßige Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz;

• Differential- und Integralrechnung in einer reellen Veränderlichen:

• Rechenregeln für Differentiation, Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Taylorformel, Extremwerte und Kurvendiskussion, Definition des Integrals und Rechenregeln, gliedweise Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Mittelwertsatz der Integralrechnung.
  

Analysis II:

• Fourier-Reihen,

• Metrische Räume: Topologie metrischer Räume, stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, Kompaktheit, Vollständigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Satz von Arzela-Ascoli;

• Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen: Partielle Ableitung und Jacobi-Matrix, Satz von Schwarz, totale Ableitung und Linearisierung, lineare Differentialoperatoren (Gradient, Divergenz, Rotation), Lipschitz-Stetigkeit und Schrankensatz, Extremwerte, Extrema mit Nebenbedingungen, Taylorformel, Sätze über implizite und inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten.

Lernziele und Kompetenzen:

Die Studierenden

• definieren und erklären grundlegende analytische Begriffe

• wenden das Basiswissen der Analysis an und reproduzieren grundlegende Prinzipien

• wenden die folgenden Techniken der Analysis gezielt an: Berechnung von Limiten, Ableitung und Integration bzw. Erkennen der Divergenz, Umgang mit elementaren Funktionen

• sammeln und bewerten relevante Informationen und erkennen Zusammenhänge

Literatur:

• Vorlesungsskripte zu diesem Modul

• O.Forster: Analysis 1, 2. Vieweg

• V. Zorich: Analysis I, II. Springer

• Hildebrandt: Analysis I, II. Springer

Organisatorisches:

• Bachelor Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik (1. und 2. Semester)

• Lehramt vertieft (1. und 2. Semester)

• Analysis I ist Teil der Mathematik für Physiker I für Bachelor Physik

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:
Das Modul ist im Kontext der folgenden Studienfächer/Vertiefungsrichtungen verwendbar:

1. Mathematik (1. Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2007 | Alte Prüfungsordnungen | Pflichtmodule der Grundlagen- und Orientierungsprüfung | Analysis)
2. Mathematik (1. Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2010 | Pflichtmodule der Grundlagen- und Orientierungsprüfung | Analysis)
3. Mathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2009 | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis (Ana))
4. Technomathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2007 | Grundlagen- und Orientierungsprüfung | Analysis)
5. Technomathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2009 | Bachelorprüfung | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis)
6. Wirtschaftsmathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2007 | Bachelorprüfung | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis (Ana))
7. Wirtschaftsmathematik (Bachelor of Science): 1-2. Semester
   (Po-Vers. 2009 | Bachelorprüfung | Fachmodule Mathematik | Module im 1. Studienjahr | Analysis (Ana))

Studien-/Prüfungsleistungen:

Analysis I und II (Prüfungsnummer: 50001)

Prüfungsleistung, Klausur, Dauer (in Minuten): 120-180, benotet

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: SS 2015, 1. Wdh.: WS 2015/2016

1. Prüfer:

Aldo Pratelli

Termin: 21.07.2015

Analysis I Übungen (Prüfungsnummer: 50002)

Prüfungsleistung, Klausur mit Übungsleistung, unbenotet

Erstablegung: WS 2014/2015, 1. Wdh.: WS 2014/2015

1. Prüfer:

Aldo Pratelli

Termin: 09.02.2015, 08:30 Uhr

Analysis II Übungen (Prüfungsnummer: 50003)

Prüfungsleistung, Übungsleistung, unbenotet

Erstablegung: SS 2015

1. Prüfer:

Aldo Pratelli